数值分析,不仅是用计算机进行数值模拟所必须具备的基础知识,也是今后进行后续课程,如微分方程数值解等课程的基础。然而学生对于所学内容的重要性以及实际意义缺乏了解,不知所学有何用,有的学生一学期下来,甚至不知插值为何用,更不要提数值积分,数值微分,数值求解等的实际意义。如文所述,几位大学计算机系毕业的学生,在面对工作中所遇见的一个非线性方程求根的问题时,他们既不知道该如何利用计算机编程求解,也不知道该如何利用计算机软件求解。
至于考试,成了记忆能力测试,学生头脑中仅仅是公式,而不是解决问题的方法。考场成为打小抄的战场,考试现场总能够收获不少总结相当全面的公式手册,都是微缩版。学生甚至将老师划的复习题一字不落的背下来,以致考试题目稍微变化一下,大多数同学就不知道该怎么分析,有时一个条件的改变就可能导致无所适从。考试结果集中反映了如下问题:
(1)教师教学缺乏“目的”性。教学过程讲得过精过细,没有给学生留有思考的余地,也就是给学生“讲了一些是什么,而忽视了为什么和有什么用”。
(2)学生基本理论不深入,应变能力差;不重逻辑推理,重计算。大部分学生满足于记住教材上的结论,很多结论却不知道怎么来的,只知套用公式计算,一旦涉及证明,就毫无思路。
以上两个问题,反映出教师不仅要精心设计教学的内容,也需要充分的“备”学生。首先,教学内容需要有所侧重,以主带次,在课堂上的有限时间里力求讲清一个侧面,一个主题,而不求面面俱到,突出讲授典型的、具有代表性的并能体现其思想方法的常用算法和理论,而对那些原理相近的内容只加以引导和提示,这样才能在不丢失细节的同时,顾及到算法的“目的”和“精神”。此外,教学要以学生为主体。著名教育家陶行知先生说过:“先生的责任不在于教,而在教学;而在教学生学。”构建主义者亦认为,学习并不是知识由教师向学生的传递,而是学生建构自己的知识的过程。学生不是安全被动的吸收者,相反,他要主动地建构信息的意义。因此,数值分析的教学有以下几点体会。
1 注意借助一些典型的物理背景或实际问题
介绍有关理论与算法时可根据问题出发组织教学内容,以突出课程的应用性来激发学生的学习兴趣,最好能够与所教授学生的专业和知识背景相挂钩。譬如,对于地质勘探专业学生,可以插值在矿产储量估计的应用为例;而样条函数是图象处理技术中的基础之一;FFT技术能够快速处理数据而在机械、电子、信息、自动化工程中的实时信号处理中有着举足轻重的地位;物理、化学中的许多模型都归结为各种微分方程,可以选与其专业相关的方程问题求解为例。此外,由于学生已经修完微积分、线性代数、微分方程,以及一门计算机语言,以这些学科的知识为出发点,找到与数值分析之间的内在联系,并解决问题,是提升学生兴趣的一个重要方法。
2 学科的特点可做为教学主线,建模是有效教学教学手段
数值分析求的是近似解,是计算机求解,每一个算法都需要考虑计算过程的复杂性和稳定性,都需要对计算结果进行误差分析,因此,可从本门学科的特点为出发点来进行讲授:
(1)面向计算机;(2)有可靠的理论分析;(3)要有好的计算复杂性;(4)要有数值实验;(5)要对算法进行误差分析。
学生需要经历完整的解决问题的过程:实际问题→数学模型→数值计算方法→程序设计→上机计算求出结果,才能体会到数值分析各个章节和各个知识点的实际意义。因为,无论哪种模型求解,都需要面对以下几个问题:
(1)根据问题的不同选择适当的算法。例如:插值逼近,非等距节点可采用一般牛顿插值公式,等距节点则可采用牛顿前插或后插公式;方程组求解,首先需要选择用直接法还是迭代法。(2)算法必须稳定性。例如:为何LU分解需要选主元？最佳平方逼近为什么要采用正交多项式作为基底？定常的微分方程求解时为何要考虑步长,选择什么样的步长最合适？怎样发现算法不稳定？(3)理论分析与数值结果之间的相互指导。(4)方法的精确性和有效性之间平衡。
3 培养学生科学精神,尤其是观察和分析能力
作为数值模拟的基础,数值分析离不开上机试验,但编程实现算法,仅仅是试验的一部分。数值试验的根本目的是检验和解释算法的优劣,比较误差的大小,并对算法调试和改进。
有比较,才能有发现,算法的选择对于计算结果的影响是非常明显的。例如,插值并不是次数越高效果越好,高次插值会有不稳定现象,整体上分段低次插值反而拟合的更好;LU分解法适用于求解线性低阶稠密非奇异系数矩阵的方程,但是选主元与不选主元求解结果差别可能很大;采用不同阶数的Runge-Kutta法求解常微分方程,解的收敛速度是不同的。
进一步,需要根据算法特点比较算法的适用性。例如做函数插值时候,有多种方法可供选用:Lagrange型、Newton型、Hermite型、样条型插值等等,在具体使用时,Lagrange型插值简单、迅速,适宜于对点插值快速计算;New ton型插值具有可继承性,适宜于外推计算;Hermite型插值有比较高的连续可微性,但计算量比较大;样条型插值也具有较高的光滑性,但是需要额外的限制条件。如果能使学生掌握了各种方法之余,将之进行比较,那么在使用时就会事半功倍。
因此,要求学生不仅要会做数值试验,更要学会分析结果,从中发现规律,观察不同方法的适用范畴。这不仅是掌握知识的需要,也是提高解决问题能力的必由之路。
4 考核方式的改进
一位教授指出:“记忆只是一种简单枯燥的机械劳动,而只有思考才能发挥人的潜能,从而推进学术的进步和发展。”教育的最大悲哀,是将学生思考的权利剥夺,取代以大量的灌输过程和马桶式的作业与考试(做完、考完即投入马桶),学生从中没有任何体会。与其让学生将大量的时间用来记忆考试过后就会忘记的公式,不如让他们将时间用来理解知识本质和尝试解决问题,因此,数值分析的考试可以考虑开卷,重点考察运用知识解决问题的能力。只有考核方法的改进,才能督促学生将重点放在知识真正的理解与使用上;学生也只有看到问题的解决,学习的热情才能被培养起来。也只有通过学生自己的思考并使用,知识才能真正被掌握。
参考文献
[1] 孙亮.数值分析方法课程的特点与思想[J].工科数学,2002.
[2] 李换琴.关于高等工科数学教学改革的思想[J].工科数学,1999.
[3] 杜廷松.关于数值分析课程教学改革研究的综述和思考[J].大学数学,2007.