【摘要】 论述了群元素阶的定义及性质，重点对元素阶之间的关系给出了系统论证，特别是给出了群元素最大阶的性质及其证明过程和置换阶的求法，最后论述了群元素阶与信息安全之间的关系.
【关键词】 群元素阶；典型群；数模
0引言
由文献[1-5]可以看到元素的阶对于群的重要性.元素的阶是群论中最基本的一个概念.从著名的Burnside问题可以看出，元素的阶在群的结构中起着重要的作用.群中元素的阶是一个基本的数量.如果把群看作一个整体，其中的元素就是一个局部，局部和整体有着密不可分的联系.为此，考察元素阶的作用，可使从局部来看整体，并推导和引申各种不同群的性质，进而促进计算机科学和算子理论的应用与研究.
4元素阶与数模之间的关系
模m剩余类关于乘法运算×m构成的代数通常不是群，但一个元素a若与模m互素，则该元素存在逆元，其阶定义为使an≡1 mod m成立的最小正整数n，记为δm（a）.δm（a）不但具有与群元素阶类似的性质，而且根据欧拉定理还具有下面两条重要性质.
（1）若m>1，（a，m）=1，则aφ（m）≡1 mod m，于是δm（a）/φ（m）.特别地，若m=p为素数，δm（a）/（p-1）.注意这里的φ（m）就是m的欧拉函数值.
（2）若（m，n）=1，（a，mn）=1，则δmn（a）=[δm（a），δn（a）].这个结论易由（1）得出.
事实上，数论里关于元素阶的讨论与群中方法完全一致，只不过应用在整个整数范围上.
5元素阶概念在实际生活和信息安全中的运用
（1）将编号为1～52的卡片分为1～26 ，27～52两组，交错互相插入.则这样的交错插入重复8次后就会恢复到原来的牌序.
洗牌前 1 2 3 4 5 6 7 8 9 … 26 27 28 … 49 50 51 52
洗牌后 1 27 2 28 3 29 4 30 5 … 39 14 40 … 25 51 26 52
第一次插入相当对1～52作一次置换p=（1）（2，27，14，33，17，9，5，3）（4，28，40，46，49，25，13，7）（6，29，15，8，30，41，21，11）（10，31，16，34，43，22，37，19）（12，32，42，47，24，38，45，23）（18，35）（20，36，44，48，50，51，26，39）（52），其中最长的轮换为8阶.
因为所有小于8阶的轮换阶数都是8的因子，k阶轮换重复k的倍次后恢复原状，故结论成立.美国的研究人员认为，扑克牌洗7次最合适.
事实上，知道洗牌方法，就可写出对应的置换，于是将该置换表示成不相交轮换的乘积，求出各轮换阶的最小公倍数m，得出扑克牌在该洗牌方法下重复m次后恢复到初始状态.
（2）根据置换阶计算规律可以分析研究某种只进行置换的特殊密码黑盒
向黑盒输入一列数a1，a2，a3，…，an，观察黑盒输出结果，比如为ai1，ai2，…，ain，再将结果重新输入，再观察结果，肯定某次就恢复到最初状态，记录下这个次数.如果这样次数较少，实际上该黑盒就被可以破译了.因为根据黑盒输出结果反复迭代记录下的次数就得到向黑盒输入的初始值.
（3）在信息安全基础理论研究和运用中，大量涉及到群元素阶的性质.比如经常安全素数的使用.安全素数是一个足够大的形如2q+1的素数p，其中q也是素数，而且乘法群Z*P有四个子群：①只有数1组成的平凡子群；②仅由1和p-1组成的大小为2的子群；③一个大小为q的子群；④一个大小为2q的整个群.两个子群容易避免，第三个即为想要的子群.考虑所有能够写成另一数平方（当然要模p）的模p数集合.事实上，对于1，…，p-1中恰好有一半的数是平方数，一半是非平方数，但整个群的生成元是非平方数（如果是平方数，则它的任何次幂都不能产生非平方数，于是不能生成整个群）.如何使用安全素数？选择（p，q）使得p=2q+1，并且p和q都是素数，在2，…，p-2中随机选择一个a，令g=a2（modp），检验g≠1，且g≠p-1（否则重选），这样产生的参数（p，q，g）适合Diffle-Helleman协议.当Alice或Bob收到的应该是g的方幂的值时，必须检查收到的这个值的确位于g生成的子群中.当且仅当rq≡1（modp）时，数r是平方数.此时也要禁止使用数1，完整的检验是r≠1且rq≡1（modp）.事实上这里的关键问题是r关于模p阶，要求p足够大.
6结束语
研究群元素阶的性质不但对于分析群的结构有重要作用，而且对建立在群上，特别是某个循环群上的密码系统安全性分析至关重要.为了建立一个安全的密钥空间，常常需要群的阶很高，于是找到高阶元素显得尤为重要.这些研究对计算机科学和对算子理论的应用有重要贡献.此外，群元素阶的研究对分析环结构也有很大作用.
参考文献
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Analysis and Application on Group Elements’s Order
Yao Junping， Li Xinshe
（Xi’an High-tech Institute）
Abstract：The definition， properties and relationship between group elements’s order are studied， and the largest order’s properties， proving process and calculation method of the replacement order are discussed in detail. The relationship between group elements’s order and information security are given in the end.
Keywords： Group of elements in order； A typical group； Digifax
（责任编辑：黄永辉）