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浅谈数学复习与做题之间的关系

时间:2022-10-19 17:18:02 来源:网友投稿

【摘要】本文通过《数学分析》级数敛散性判定教学事例,一题多解,激发学生的思维空间扩大﹑发展。

【关键词】解题依据;深入剖析;用心思考;分析;归纳;总结

如何把学习过程与知识技能的掌握统一起来,是每个教师应做的事情。知识的掌握应由被动接受到主动探究。建构自己的知识结构。本节课是《数学分析》(下册)复习级数收敛判定方法的一个片断案例。通过一题多解激发学生思维,使学生的思维空间扩大、发展。

1.教学过程

1.1提出问题

“准确理解基本概念、深入掌握基本理论”是学好数学的基础。

在充分复习的基础上,再适当精心做题。所谓适当,就是数量上要适当,我不赞成盲目地、大量地做题,每种类型做一两个就可以了,“与其伤其十指,不如断其一指。”我觉得在做数学题时,也应“与其泛泛做十道题,不如深入解剖一两道题,争取彻底掌握这一类型的题。”

怎样才能彻底掌握?怎样才是精心做题?我提倡在做题时要“多分析、多思考、多归纳、多总结。”每当做完一题不要以为大功告成,可以就此搁笔了,因为“会做”并不等于“掌握”,要分析题有哪几个知识点,考哪个概念或定理。分析当初解题过程中每一个主要步骤的依据是什么,分析本题的难点在哪儿。特别要分析当初不会做时,主要原因是什么。是某个定理的条件与结论没有挂上钩?还是这两个概念实际上是等价的,你还没掌握?抑或是某种技巧没能熟练掌握?通过思考本题的求解过程,你对原先掌握的概念又有什么新的体会?思考若本题的条件作了某些变动又会得到什么样的结果。归纳与本题同类型的题其一般解题过程、解题技巧或解题方法,总结求解这类题型的一般规律是什么,总结通过本题的解题过程你又可获得什么新的信息等等。

1.2举例说明

为使同学们有感性认识,现具体举例说明:

问题1判断级数是否收敛

学生1设级数的前n项部分和为Sn,则

Sn=++…=1-+-+…+-=1-

∴Sn=1=S由定义知级数收敛

很多同学做到这里就此搁笔。但是我们可以进一步做如下分析、思考、归纳与总结。

1.2.1本题的知识点有三个:

(1)级数收敛的定义:若级数的n项部分和Sn有极限,则级数收敛。

(2)求数列 的前n项的和Sn,这是本题材求解过程的一个技巧点。

(3)求极限Sn。

1.2.2我们可进一步思考:这道题求Sn为何用拆项相消法求和,因为它即不是等差数列也不是等比数例。

1.2.3再进一步思考:因为ɑn=的分母两数相差1。

∴ɑn=-

通过推理演算:

=(-),…,=(-)

这样就可简化计算Sn

1.3进一步思考:改变本题的条件又如何解呢?

问题2 判断级数是否收敛?

求和的方法与问题1是一致的,在学生解题过程中,教师巡视,了解有部分学生认为第2题与问题1一样,在消项后只剩下首末两项,结果出现如下错误。

学生2

Sn

++…+

=(1-+-+…+-)

=(1-)

∴Sn=级数收敛

教师:好!同学们通过拆项相消法求数列前n项的和Sn。容易出现这样的错误,就这个问题,大家能找到问题的解决方法吗?

学生3在拆项过程中,开始和末尾可以多拆几项,同时应发现,开始剩几个“正项”,最后相应就剩几个“负项”。

如问题2中

Sn=(-+-+-+-+…+-+-)

=(1+--

Sn=

教师:好!看来大家都能用定义判断级数收敛,但是否注意到,用定义去求,要先求级数的前n项部分和是比较麻烦的。现在请大家回忆一下,结合自己掌握的,列出判断级数收敛的方法。

同学们兴奋起来,有的紧张思考,有的热烈讨论,不少同学都能归纳出正项级数与异号级数收敛的判定方法。

1.4进一步思考:问题1有其它解法吗?

学生思考、联系定理、进行解答、老师巡视、了解学生所用方法,在教师的提示下,解答有如下方法:

学生4设级数的前n项部分和为Sn,则

Sn=++…+=1-+-+…+-=1-

=1-<1有上界。

由定理知级数收敛。

学生4(比较法)∵<

而级数收敛,∴原级数收敛。

学生5 设un=,取vn=

∵=而级数收敛

∴原级数收敛。

学生6 对一切n>1有=<<1

∴由比式判别法,则级数收敛

学生7 ε>0,由Sn+p-Sn=un+1-un+2+…+un+p

=++…+

=-+-+…+-

=-<

因此对ε>0,只需取N=,使得当n>N及任意自然数p,都有un+1-un+2+…+un+p<<ε

由柯西收敛准则知,级数收敛。

学生通过积极实践,一题多解、深化认识,思维得到拓展,这就是我们最大的收获。但任何方法都不是万能的,同学们只要大胆、敢于探索,只要我们不断尝试、总结、再尝试,成功一定属于你们。

2.教学反思

2.1通过对典型例题的深入剖析,掌握知识点,探索同类型的解题思维、解题方法,进而做到举一反三。因此,做题、练习一定要善于总结,大家瞧,我们通过做一道题,不仅分析了这个题的知识点、难点,还进一步归纳了判断级数收敛的多种方法。对定理的应用也掌握了。同时掌握了用定义、定理、比较原则、比式判断、柯西收敛准则等多种方法判断级数收敛。这样做题才可说是真正“会做了”、“掌握了”。这样的题有很多很多,关键是看我们能否在做完题后用心去思考、分析、归纳、总结。

2.2由于特定历史文化背景的影响,教学中的“灌输”仍有相当的市场,忽视了对学生主体意识的培养。教师应把重点转移到“学生如何学”上面来,这才能达到“教是为了不教”的境界。

2.3课堂教学有它的脉络、知识结构、学科知识体系是一种脉络,除了这个之外,还应有一个“兴趣的脉络”,让学生带着问题学习,在应用已有知识解决问题的过程中去分析、解决问题,再完善自己的知识结构。老师应放下架子,做一个配角,与学生一起去发现问题、解决问题,同步思维,更要注意分享学生每一次成功的喜悦。问题设置的层层递进、跌宕起伏,使学生自始至终地在兴奋、探究、创造交流的气氛中自主学习,最大限度地激发学生学习的兴趣,取得良好的学习效果。老师只有不断提高自身素质、精心创设问题情境,使学生上一课必有一得,才能让课堂充满学生成长的气息,让学生成为学习的真正主人。

【参考文献】

[1]数学分析,下册.华东师范大学数学系编.高等教育出版社.1985,4,第5次印刷.

[2]数学分析讲义,下册.刘玉琏等编.高等教育出版社.

注:本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文

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